Исследование операций. Линейное, динамическое программирование


Исследование операций - часть 104


Покажем на конкретном примере, как эти уравнения составляются. Пусть система S имеет четыре состояния: S1, S2, S3, S4, размеченный граф которых показан на рис. 17.3. Рассмотрим одну из вероятностей состояний, например pi(t). Это—вероятность того, что в момент t система будет в состоянии S1. Придадим t малое приращение

 и найдем р1 (t +
) — вероятность того, что в момент t +
 система будет в состоянии S1. Как это может произойти? Очевидно, двумя способами: либо 1) в момент t система уже была в состоянии S1, а за время
 не вышла из него; либо 2) в момент t система была в состоянии S2, а за время
 перешла из него в S1.

Найдем вероятность первого варианта. Вероятность того, что в момент t

система была в состоянии S1, равна p1(t). Эту вероятность нужно умножить на вероятность того, что, находившись в момент t в состоянии S1, система за время

 не перейдет из него ни в S2, ни в S3. Суммарный поток событий, выводящий систему из состояния S1, тоже будет простейшим, с интенсивностью
 (при наложении — суперпозиции — двух простейших потоков получается опять простейший поток, так как свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия сохраняются). Значит, вероятность того, что за время
 система выйдет из состояния S1, равна (
)
; вероятность того, что не выйдет: 1 - (
 Отсюда вероятность первого варианта равна p1(t) [1 - (
].

Найдем вероятность второго варианта. Она равна вероятности того, что в момент t система будет в состоянии S2, а за время

 перейдет из него в состояние S1, т. е. она равна p2(t)
.

Складывая вероятности обоих вариантов (по правилу сложения вероятностей), получим:

 

.

 

Раскроем квадратные скобки, перенесем pi(t) в левую часть и разделим обе части на

:

 

 

Устремим, как и полагается в подобных случаях,

 к нулю; слева получим в пределе производную функции p1(t). Таким образом, запишем дифференциальное уравнение для p1(t):

 

 

или, короче, отбрасывая аргумент t у функций p1, p2 (теперь он нам больше уже не нужен):




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин