Исследование операций. Линейное, динамическое программирование


Исследование операций - часть 105


 

.        (17.2)

 

Рассуждая аналогично для всех остальных состояний, напишем еще три дифференциальных уравнения. Присоединяя к ним уравнение (17.2), получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

 

         (17.3)

 

 

Это — система четырех линейных дифференциальных уравнений с четырьмя неизвестными функциями p1, р2, р3, р4. Заметим, что одно из них (любое) можно отбросить, пользуясь тем, что p1 + p2 + р3 + р4 = 1: выразить любую из вероятностей pi через другие, это выражение подставить в (17.3), а соответствующее уравнение с производной

 отбросить.

Сформулируем теперь общее правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (i-го) состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го) состояния.

Пользуясь этим правилом, запишем уравнения Колмогорова для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 17.2:

 

      (17.4)

 

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, прежде всего надо задать начальные условия. Если мы точно знаем начальное состояние системы Si, то в начальный момент (при t = 0) pi(0) = 1, а все остальные начальные вероятности равны пулю. Так, например, уравнения (17.4) естественно решать при начальных условиях p0(0) = 1,p1(0) = p2(0) = p3(0) = 0 (в начальный момент оба узла исправны).

Как решать подобные уравнения? Вообще говоря, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно решать аналитически, но это удобно только когда число уравнений не превосходит двух (иногда — трех). Если уравнений больше, обычно их решают численно — вручную или на ЭВМ.

Таким образом, уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин