Исследование операций. Линейное, динамическое программирование
Исследование операций - часть 107
Если перенести отрицательный член каждого уравнения из правой части в левую, то получим сразу систему уравнений, где слева стоит финальная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-e состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Пользуясь этим правилом, напишем линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний системы, граф состояний которой дан на рис. 17.2:
Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными р0, р1, р2, р3, казалось бы, вполне можно решить. Но вот беда: уравнения (17.7) однородны (не имеют свободного члена) и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. К счастью, мы можем воспользоваться так называемым нормировочным условием:
и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).
Давайте зададимся численными значениями интенсивностей
вместо него нормировочное условие (17.8).Уравнения примут вид:
Решая их, получим:
p0 = 6/15 = 0,40; p1 = 3/15 = 0,20; p2 = 4/15 ? 0,27;
p3 = 2/15 ? 0,13,
т. е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии So (оба узла исправны), 20% —в состоянии S1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% —в состоянии S2
(второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% —в состоянии S3 полной негодности (оба узла ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов. Предположим, что система S в состоянии S0 (полностью исправная) приносит в единицу времени доход 8 (условных единиц), в состоянии S1 – доход 3, в состоянии S2 – доход 5, в состоянии S3 — вообще не приносит дохода.