Исследование операций. Линейное, динамическое программирование


Исследование операций - часть 113


Для первого состояния S0 имеем:

 

 (19.1)

Для второго состояния S1:

В силу (19.1) последнее равенство приводится к виду

далее, совершенно аналогично

и вообще

где k принимает все значения от 0 до п. Итак, финальные вероятности p0, p1,..., рn удовлетворяют уравнениям

 

              (19.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

 

p0 + p1 + p2

+…+ pn =1.          (19.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (19.2) выразим p1 через р0:

 

p1 =

 p0.                                                                        (19.4)

Из второго, с учетом (19.4), получим:

 

                              (19.5)

• из третьего, с учетом (19.5),

 

                                            (19.6)

и вообще, для любого k (от 1 до n):

 

                                     (19.7)

Обратим внимание на формулу (19.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk).

Таким образом, все вероятности состояний р0, p1, ..., рn выражены через одну из них (р0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (19.3). Получим, вынося за скобку р0:

 

отсюда получим выражение для р0:

 

(19.8)

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р0 (см. формулы (19.4) — (19.7)). Заметим, что коэффициенты при р0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (19.8). Значит, вычисляя р0, мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

2. Формула Литтла.

Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок Lсист, находящихся в системе массового обслуживания (т.


Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин