Исследование операций. Линейное, динамическое программирование


Исследование операций - часть 121


Можно доказать, что если ? строго меньше единицы (?< 1), то финальные вероятности существуют, а при ? ? 1 очередь при t > ? растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при ? = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле — не так. При ? = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот — регулярен, и время обслуживания — тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживании стать хотя бы чуточку случайными — и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» — абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность — воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для р0:

 

p0 = [1 + ?/? + (?/?)2

+... + (?/?)k +.. ]-1

=

= (1 + р + р2 + ... + рk +… .)-1.   (20.11)

 

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ? < 1 ряд сходится — это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ? 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний р0, p1, ..., pk, ... существуют только при р<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ? <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин