Исследование операций. Линейное, динамическое программирование


Исследование операций - часть 122


 

1 + ? + ?2 + ... + ?k + ... =

,

откуда

 

p0 = 1 - ?.                 (20.12)

 

Вероятности р1, р2, ..., рk, ... найдутся по формулам:

 

p1 = ?p0,   p2 = ?2p0 ,…,pk

= ?p0, ...,

 

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

 

p1 = ? (1 - ?),   p2 = ?2 (1 - ?), . . . , pk = ?k (1 - ?), . . .(20.13)

 

Как видно, вероятности p0, p1, ..., pk, ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р0 — вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (?<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО Lсист.. Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z — число заявок в системе — имеет возможные значения 0, 1, 2, .... k, ... с вероятностями p0, р1, р2, ..., pk, ... Ее математическое ожидание равно

 

Lсист = 0 ? p0 +1 ? p1

+ 2 ? p2 +…+k ? pk

+…=

 (20.14)

 

(сумма берется не от 0 до ?, а от 1 до ?, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для pk (20.13):

 

Lсист. =

Теперь вынесем за знак суммы ? (1-?):

Lсист. = ? (1-?)

 

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: k?k-1 есть не что иное, как производная по ? от выражения ?k; значит,

 

Lсист. = ? (1-?)

 

Меняя местами операции дифференцирования п суммирования, получим:

 

Lсист. = ? (1-?)

            (20.15)

 

 

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ? и знаменателем ?; эта сумма

равна

, а ее производная
.Подставляя это выражение в (20.15), получим:

 

Lсист =

.               (20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

 

Wсист

=

         (20.17)

 

Найдем среднее число заявок в очереди Lоч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием.


Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин