Исследование операций - часть 150
Очевидно, осторожный противник должен выбрать ту стратегию, при которой эта величина минимальна (соответствующее значение 5 выделено в таблице 26.3). Эта величина ? — то значение выигрыша, больше которого заведомо не отдаст нам разумный противник. Она называется верхней ценой игры (или «минимаксом» — минимальный из максимальных выигрышей). В нашем примере ? = 5 и достигается при стратегии противника B3.
Итак, исходя из принципа осторожности (перестраховочного правила «всегда рассчитывай на худшее!»), мы должны выбрать стратегию А4,
а противник — стратегию В3.
Такие стратегии называются «минимаксными» (вытекающими из принципа минимакса). До тех пор, пока обе стороны в нашем примере будут придерживаться своих минимаксных стратегий, выигрыш будет равен а43
= 3.
Теперь представим себе на минуту, что мы узнали о том, что противник придерживается стратегии В3. А ну-ка, накажем его за это и выберем стратегию А1 — мы получим 5, а это не так уж плохо. Но ведь противник — тоже не промах; пусть он узнал, что наша стратегия А1;
он тоже поторопится выбрать В4,
сведя наш выигрыш к 2, и т. д. (партнеры «заметались по стратегиям»). Одним словом, минимаксные стратегии в нашем примере неустойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны; эти стратегии не обладают свойством равновесия.
Всегда ли это так? Нет, не всегда. Рассмотрим пример с матрицей, данной в таблице 26.4.
В этом примере нижняя Цена игры равна верхней: ? = ? = 6. Что из этого вытекает? Минимаксные стратегии игроков А и В будут устойчивыми. Пока оба игрока их придерживаются, выигрыш равен 6. Посмотрим, что будет, если мы (А) узнаем, что противник (В)
Таблица 26.4
Ai |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
?i |
|
A1 A2 A3
|
2 7 5 |
4 6 3 |
7 8 4 |
5 7 1 |
2 6 1 |
|
?j |
7 |
6 |
8 |
7 |
|
держится стратегии B2? А ровно ничего не изменится. Потому что любое отступление от стратегии А2
может только ухудшить наше положение.